Question

【題目】某玩具由一個圓形區域和一個扇形區域組成，如圖，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1與O2C、O2D分別切于點A、B，已知∠CO2D=60°，E、F是直線O1O2與⊙O1、扇形O2CD的兩個交點，且EF=24cm，設⊙O1的半徑為xcm．
（1）用含x的代數式表示扇形O2CD的半徑；
（2）若⊙O1和扇形O2CD兩個區域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2 ， 當⊙O1的半徑為多少時，該玩具的制作成本最小？

Answer 1

【答案】
（1）解：連接O1A．

∵⊙O1與O2C、O2D分別切一點A、B

∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，

∴∠AO2O1= ∠CO2D=30°，

∴在Rt△O1AO2中，O1O2=2AO1=2x．

∴FO2=EF﹣EO1﹣O1O2=24﹣3x，即扇形O2CD的半徑為（24﹣3x）cm

（2）解：設該玩具的制作成本為y元，則

y=0.45πx2+0.06×

=0.9πx2﹣7.2πx+28.8π

=0.9π（x﹣4）2+14.4π

所以當x﹣4=0，即x=4時，y的值最小．

答：當⊙O1的半徑為4cm時，該玩具的制作成本最小．

【解析】（1）連接O1A．利用切線的性質知∠AO2O1= ∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”求得O1O2=2x；最后由圖形中線段間的和差關系求得扇形O2CD的半徑FO2為：EF﹣EO1﹣O1O2=24﹣3x；（2）設該玩具的制作成本為y元，則根據圓形的面積公式和扇形的面積公式列出y與x間的函數關系，然后利用二次函數的最值即可求得該玩具的最小制作成本．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)，還要掌握切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)的相關知識才是答題的關鍵．