Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，點D為△ABC內一點，連接DA、DB、DC，∠ADB=120°．以CD為邊向CD上方作等邊△CDE，連接AE．（0°＜∠ACE＜60°）

（1）求證：△BDC≌△AEC；

（2）若DA=+1，DB=﹣1，DC=2n（n為大于1的整數），求∠BDC的度數；

（3）若△ADE為等腰三角形，求的值．

Answer 1

【答案】(1)證明詳見解析；(2)150°；(3)．

【解析】

試題分析：（1）由等邊三角形的性質得出結論，直接用SAS得出結論；

（2）用等邊三角形的性質得出DE=CD，進而判斷出△ADE是直角三角形，即可得出結論；

（3）分三種情況先判斷出△ADE是等邊三角形，進而構造出直角三角形，用含30°的直角三角形的性質得出結論即可．

試題解析：（1）∵△ABC和△CDE是等邊三角形，

∴BC=AC，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=∠CED=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BDC和△AEC中，

BC=AC，∠BCD=∠ACE，CE=CE，

∴△BDC≌△AEC（SAS）；

（2）由（1）知，DE=CD=2n，△BDC≌△AEC，

∴∠BDC=∠AEC，AE=BD=﹣1，

∵DA=+1，AE=﹣1，DE=2n，

∴==，

∴△ADE是直角三角形，

∴∠AED=90°，

∴∠BDC=∠AEC=∠AED+∠CED=150°；

（3）如圖，

①當AD=AE時，由（1）知，△BDC≌△AEC，

∴∠CAE=∠CBD，AE=BD，

∴AD=BD，

∵∠ADB=120°，

∴∠BAD=∠ABD=30°，

∵∠ABC=∠BAC=60°，

∴∠CBD=∠CAD=∠CAE=30°，

∴∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形；

②當AD=DE時，∵CD=DE，

∴AD=CD，

∴∠CAD=∠DCA，

∵∠BAC=∠BCA，

∴∠BAD=∠BCD，

在△ABD和△CBD中，

AB=BC，∠BAD=∠BCD，AD=CD，

∴△ABD≌△CBD，

∴∠ABD=∠ABC=30°，

以后同①的方法得出，△ADE是等邊三角形，

③當AE=DE時，同②的方法得出，△ADE是等邊三角形，

即：△ADE是等邊三角形

過點D作DF⊥BC，

∴BC=2CF，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，

∴cos30°=，

∴==．