Question

【題目】如圖，點A、B坐標分別為（4，0）、（0，8），點C是線段OB上一動點，點E在x軸正半軸上，四邊形OEDC是矩形，且OE=2OC．設OE=t(t>0)，矩形OEDC與△AOB重合部分的面積為S．根據上述條件，回答下列問題：

（1）當矩形OEDC的頂點D在直線AB上時，t= ；

（2）當t=4時，直接寫出S的值；

（3）求出S與t的函數關系式；

（4）若S=12，則t= ．

Answer 1

【答案】（1）t=（2） 7（3）（4）8

【解析】試題分析：（1）證明△BCD∽△BOA，利用線段比求出t值．（2）當t=4時，點E與A重合，證明△CBF∽△OBA求出CF．（3）根據t的取值范圍求出S的值．(4) 由題意可知把S=12代入S= t2+2t中, t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）當S=12時，t=8．

試題解析：

（1）由題意可得∠BCD=∠BOA=90°，∠CBD=∠OBA，

∴△BCD∽△BOA，

∴

而CD＝OE＝t，BC＝8CO＝8 ，OA＝4，

則8 ，解得t＝ ，

∴當點D在直線AB上時，t＝．

（2）（2）當t=4時，點E與A重合，設CD與AB交于點F，

則由△CBF∽△OBA得，

即，解得CF=3，

∴S＝ OC(OE+CF)＝ ×2×(3+4)＝7．

（3）當0<t≤時，S=t2,

當<t≤4時，如圖（2），

∵A(4，0),B(0，8)

∴直線AB的解析式為y=-2x+8，G(t, 2t+8),F(4 ,),

∴DF= 4,DG= 8,

∴S=S矩形COED-S△DFG=t× (

4)( 8)

=-t2+10t-16.

當時，如圖（3）

由∠BFC=∠BAO tan∠BAO=tan∠BFC

=2

∴S=S△BOAS△BCF=×4×8 ×(4-)(8 =

t2+2t.

綜上（4）8

（提示：由題意可知把S=12代入S= t2+2t中, . t2+2t=12,整理，得t2-32t+192=0.解得 t1=8,t2=24>16（舍去）當S=12時，t=8．）

點睛: 本題考查的是二次函數的綜合運用，相似三角形的判定以及考生的做題能力,解題時要注意分段函數．