Question

【題目】如圖，P是⊙O上的一個點，⊙P與⊙O的一個交點是E，⊙O的弦AB（或延長線）與⊙P相切，C是切點，AE（或延長線）交⊙P于點F，連接PA、PB，設⊙O的半徑為R，⊙P的半徑為r（R＞r），

（1）如圖1，求證：PAPB＝2rR；

（2）如圖2，當切點C在⊙O的外部時，（1）中的結論是否成立，試證明之；

（3）探究（圖2）已知PA＝10，PB＝4，R＝2r，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論還成立；（3）．

【解析】

（1）連接PO并延長交⊙O于H，連接AH、PC，通過進行求解即可得解；

（2）通過進行求解即可得解；

（3）過P作AE的垂線，垂足是Q，連接PE，通過及垂徑定理進行求解即可得解.

（1）證明：如下圖1，連接PO并延長交⊙O于H，連接AH、PC，

∵AB是⊙P的切線

∴，

∵PH是直徑，

∴，

∵∠PCB＝∠PAH，

∵∠PBC＝∠PHA，

∴，

∴，

∵，

∴；

（2）結論還成立，

證明：如下圖1：由（1）得：，

∴，

∵，

∴；

（3）解：如下圖2，過P作AE的垂線，垂足是Q，連接PE，

∵PA＝10，PB＝4，R＝2r，

而，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴PQ＝，

∴QE＝，

由垂徑定理得：EF＝2QE＝．