Question

【題目】操作：如圖，邊長為2的正方形ABCD，點P在射線BC上，將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點F．

探究：（1）如圖1，當點P在線段BC上時，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度數；②若點E恰為線段DF的中點時，請通過運算說明點P會在線段BC的什么位置？并求出此時∠AFD的度數．

歸納：（2）若點P是線段BC上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數是否會發生變化？試證明你的結論；

猜想：（3）如圖2，若點P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數是否會發生變化？試在圖中畫出圖形，并直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②BC的中點，45°；（2）不會發生變化，證明參見解析；（3）不會發生變化，作圖參見解析.

【解析】

試題分析：（1）當點P在線段BC上時，①由折疊得到一對角相等，再利用正方形性質求出∠DAE度數，在三角形AFD中，利用內角和定理求出所求角度數即可；②由E為DF中點，得到P為BC中點，如圖1，連接BE交AF于點O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，進而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對應邊相等得到BP=EG=1，得到P為BC中點，進而求出所求角度數即可；（2）若點P是線段BC上任意一點時（不與B，C重合），∠AFD的度數不會發生變化，作AG⊥DF于點G，如圖1（a）所示，利用折疊的性質及三線合一性質，根據等式的性質求出∠1+∠2的度數，即為∠FAG度數，即可求出∠F度數；（3）作出相應圖形，如圖2所示，若點P在BC邊的延長線上時，∠AFD的度數不會發生變化，理由為：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，設∠DAG=∠EAG=α，根據∠FAE為∠BAE一半求出所求角度數即可．

試題解析：（1）①當點P在線段BC上時，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②點E為DF的中點時，P也為BC的中點，理由如下：

如圖1，連接BE交AF于點O，作EG∥AD，得EG∥BC，∵EG∥AD，DE=EF，∴EG=AD=1，∵AB=AE，∴點A在線段BE的垂直平分線上，同理可得點P在線段BE的垂直平分線上，∴AF垂直平分線段BE，∴OB=OE，∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，∴△BOP≌△EOG，∴BP=EG=1，即P為BC的中點，∴∠DAF=90°﹣∠BAF，∠ADF=45°+∠BAF，∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°；（2）∠AFD的度數不會發生變化，作AG⊥DF于點G，如圖1（a）所示，

在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，∴∠1+∠2=×90°=45°，即∠FAG=45°，則∠AFD=90°﹣45°=45°；（3）如圖2所示，∠AFE的大小不會發生變化，∠AFE=45°，

作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，設∠DAG=∠EAG=α，∴∠BAE=90°+2α，∴∠FAE=∠BAE=45°+α，∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°，在Rt△AFG中，∠AFE=90°﹣45°=45°．