Question

【題目】如圖1，地面BD上兩根等長立柱AB，CD之間懸掛一根近似成拋物線y= x2﹣ x+3的繩子．

（1）求繩子最低點離地面的距離；
（2）因實際需要，在離AB為3米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線F1的最低點距MN為1米，離地面1.8米，求MN的長；
（3）將立柱MN的長度提升為3米，通過調整MN的位置，使拋物線F2對應函數的二次項系數始終為 ，設MN離AB的距離為m，拋物線F2的頂點離地面距離為k，當2≤k≤2.5時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a= ＞0，

∴拋物線頂點為最低點，

∵y= x2﹣ x+3= （x﹣4）2+ ，

∴繩子最低點離地面的距離為： m

（2）

解：由（1）可知，BD=8，

令x=0得y=3，

∴A（0，3），C（8，3），

由題意可得：拋物線F1的頂點坐標為：（2，1.8），

設F1的解析式為：y=a（x﹣2）2+1.8，

將（0，3）代入得：4a+1.8=3，

解得：a=0.3，

∴拋物線F1為：y=0.3（x﹣2）2+1.8，

當x=3時，y=0.3×1+1.8=2.1，

∴MN的長度為：2.1m

（3）

解：∵MN=DC=3，

∴根據拋物線的對稱性可知拋物線F2的頂點在ND的垂直平分線上，

∴拋物線F2的頂點坐標為：（ m+4，k），

∴拋物線F2的解析式為：y= （x﹣ m﹣4）2+k，

把C（8，3）代入得： （4﹣ m﹣4）2+k=3，

解得：k=﹣ （4﹣ m）2+3，

∴k=﹣ （m﹣8）2+3，

∴k是關于m的二次函數，

又∵由已知m＜8，在對稱軸的左側，

∴k隨m的增大而增大，

∴當k=2時，﹣ （m﹣8）2+3=2，

解得：m1=4，m2=12（不符合題意，舍去），

當k=2.5時，﹣ （m﹣8）2+3=2.5，

解得：m18﹣2 4，m2=8+2 （不符合題意，舍去），

∴m的取值范圍是：4≤m≤8﹣2

【解析】（1）直接利用配方法求出二次函數最值得出答案；（2）利用頂點式求出拋物線F1的解析式，進而得出x=3時，y的值，進而得出MN的長；（3）根據題意得出拋物線F2的解析式，得出k的值，進而得出m的取值范圍．此題主要考查了二次函數的應用以及頂點式求二次函數解析式等知識，正確表示出函數解析式是解題關鍵．