Question

（2006•河北）圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網格（每個小方格的邊長均為1個單位長），其對稱中心為點O．
如圖1，有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O，它每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大（即點O不動，正方形EFGH經過一秒由6×6擴大為8×8；再經過一秒，由8×8擴大為10×10；…），直到充滿正方形ABCD，再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小，然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮小．
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始，以每秒1個單位長的速度，沿正方形ABCD的內側邊緣按A?B?C?D?A移動（即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始，先向左平移，當點Q與點B重合時，再向上平移，當點M與點C重合時，再向右平移，當點N與點D重合時，再向下平移，到達起始位置后仍繼續按上述方式移動）．
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動，設運動時間為x秒，它們的重疊部分面積為y個平方單位．
（1）請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分（重疊部分用陰影表示），并分別寫出重疊部分的面積；
（2）①如圖4，當1≤x≤3.5時，求y與x的函數關系式；
②如圖5，當3.5≤x≤7時，求y與x的函數關系式；
③如圖6，當7≤x≤10.5時，求y與x的函數關系式；
④如圖7，當10.5≤x≤13時，求y與x的函數關系式．
（3）對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動一周的過程，請你根據重疊部分面積y的變化情況，指出y取得最大值和最小值時，相對應的x的取值情況，并指出最大值和最小值分別是多少．（說明：問題（3）是額外加分題，加分幅度為1～4分）

Answer 1

【答案】分析：（1）當x=2時，Q離AD的距離為6+2=8，而G離AD的距離為7-2=5，因此重合部分的長為3．同理可求得重合部分的寬為1，因此y=3．
當x=18時，正方形MNPQ走完AB需14秒，因此x=18時，正方形MNPQ在BC邊上運動了4秒，而正方形EHFG擴張到最大需7秒再縮小到原來的大小需7秒，因此x=18時，正方形EHFG重復第二次運動，且第二次運動過程中運動了4秒，因此MN離AB的距離為6+4=10，OP離AB的距離為4，因此重合部分的長為6，同理可求得重合部分的寬為3，y=3×6=18．
（2）①當1≤x≤3.5時，是正方形EHGF第一次向外擴張的過程，此時MK=x+6，SK=7-x，因此MS=2x-1．同理可求得SG的長，由此可得出重合部分的面積y與x的函數關系式．
②當3.5≤x≤7時，正方形EHGF第一次向內收縮，此時重合部分的長不變為MN的長即6，而EQ=x，NP=6，因此重合部分的寬為6-x，由此可得出y與x的函數關系式．
③當7≤x≤10.5時，正方形EHGF第二次向外擴張，此時重合部分的寬仍為MN的長即6，MQ=6，TQ=x-7，因此MT=13-x，由此可得出y與x的函數關系式．
④當10.5≤x≤13時，正方形EHGF第二次向內收縮，解法參照①．
（3）根據②中x不同區間的y的函數關系式，可根據各函數的性質和自變量的取值范圍求出y的最大或最小值．
解答：解：（1）相應的圖形如圖1，2．
當x=2時，y=3；
當x=18時，y=18．


（2）①當1≤x≤3.5時，如圖3，
延長MN交AD于K，
設MN與HG交于S，MQ與FG交于T，則MK=6+x，SK=TQ=7-x，從而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
∴y=MT•MS=（x-1）（2x-1）=2x²-3x+1．
②當3.5≤x≤7時，如圖4，
設FG與MQ交于T，則
TQ=7-x，
∴MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
∴y=MN•MT=6（x-1）=6x-6．
③當7≤x≤10.5時，如圖5，
設FG與MQ交于T，則
TQ=x-7，
∴MT=MQ-TQ=6-（x-7）=13-x．
∴y=MN•MT=6（13-x）=78-6x．
④當10.5≤x≤13時，如圖6，
設MN與EF交于S，NP交FG于R，延長NM交BC于K，則MK=14-x，SK=RP=x-7，
∴SM=SK-MK=2x-21，從而SN=MN-SM=27-2x，NR=NP-RP=13-x．
∴y=NR•SN=（13-x）（27-2x）=2x²-53x+351．

（3）對于正方形MNPQ，
①在AB邊上移動時，當0≤x≤1及13≤x≤14時，y取得最小值0；
當x=7時，y取得最大值36．
②在BC邊上移動時，當14≤x≤15及27≤x≤28時，y取得最小值0；
當x=21時，y取得最大值36．
③在CD邊上移動時，當28≤x≤29及41≤x≤42時，y取得最小值0；
當x=35時，y取得最大值36．
④在DA邊上移動時，當42≤x≤43及55≤x≤56時，y取得最小值0；
當x=49時，y取得最大值36．
點評：本題為壓軸題有一定難度，但難題也分層次性設計，只要平時多加積累解題經驗，探解題規律，一定會有很大收獲．
命題立意：考查解決大綜合題的數學能力．