Question

【題目】如圖，頂點為M的拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這條拋物線對應的函數表達式；

（2）問在y軸上是否存在一點P，使得△PAM為直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

（3）若在第一象限的拋物線下方有一動點D，滿足DA＝OA，過D作DG⊥x軸于點G，設△ADG的內心為I，試求CI的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，點P坐標為（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，），理由見解析；（3）

【解析】

（1）將A（3，0），B（﹣1，0）兩點的坐標代入y＝ax2+bx+3即可求得答案；

（2）設點P坐標為（0，p），可求得頂點M（1，4），利用兩點之間的距離公式分別求得、、，分類討論計算：當∠PAM＝90°、∠APM＝90°、∠AMP＝90°時p的值，從而得到結論；

（3）根據三角形內心的定義作三邊的高線，根據三角形內心的性質知四邊形IEGH是正方形，設點I坐標為（m，n），根據點的坐標的意義及切線長定理求得：AG＝n+3﹣m，DG＝m+n，由勾股定理DG2+AG2＝DA2化簡并配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，逆用兩點之間的距離公式知：點I（m，n）與定點Q（，﹣）的距離為，當點I在線段CQ上時，CI最小，從而求得答案.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點A（3，0），B（﹣1，0）

∴， 解得：．

∴這條拋物線對應的函數表達式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）在y軸上存在點P，使得△PAM為直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點M（1，4），

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20，

設點P坐標為（0，p），

①AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2/span>

若∠PAM＝90°，則AM2+AP2＝MP2，

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2，解得：p＝﹣，

∴P（0，﹣）；

②若∠APM＝90°，則AP2+MP2＝AM2，

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20，解得：p1＝1，p2＝3，

∴P（0，1）或（0，3）；

③若∠AMP＝90°，則AM2+MP2＝AP2，

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2，解得：p＝，

∴P（0，）

綜上所述，點P坐標為（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）時，△PAM為

直角三角形．

（3）如圖，過點I作IE⊥x軸于點E，IF⊥AD于點F，IH⊥DG于點H

∵DG⊥x軸于點G，∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°，∴四邊形IEGH是矩形，

∵點I為△ADG的內心，∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG，

∴矩形IEGH是正方形，

設點I坐標為（m，n），

∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n，

∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m，

∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m，

∵DA＝OA＝3，

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m，

∴DG＝DH+HG＝m+n，

∵DG2+AG2＝DA2，∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32，

∴化簡得：m2﹣3m+n2+3n＝0，

配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，

∴點I（m，n）與定點Q（，﹣）的距離為，

∴點I在以點Q（，﹣）為圓心，半徑為的圓在第一象限的弧上運動，

∴當點I在線段CQ上時，CI最小，

∵CQ＝，∴CI＝CQ﹣IQ＝，

∴CI最小值為．