Question

【題目】綜合與實踐：

如圖1，將一個等腰直角三角尺的頂點放置在直線上，，，過點作于點，過點作于點．

觀察發現：

（1）如圖1．當，兩點均在直線的上方時，

①猜測線段，與的數量關系，并說明理由；

②直接寫出線段，與的數量關系；

操作證明：

（2）將等腰直角三角尺繞著點逆時針旋轉至圖2位置時，線段，與又有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，并寫出證明過程；

拓廣探索：

（3）將等腰直角三用尺繞著點繼續旋轉至圖3位置時，與交于點，若，，請直接寫出的長度．

Answer 1

【答案】（1）①． 理由見解析；②；（2）；證明見解析；（3）的長度為．

【解析】

（1）過點作根據已知條件結合直角三角形性質證明，從而得到四邊形為正方形，最后得出①，直接寫出②（2）過點作，先證明證明四邊形為正方形，根據正方形的性質求解（3）過點作，證明，四邊形為正方形，再求解.

解：（1）①．

理由如下：

如圖，過點作，交的延長線于點，

∵，，

∴．

又∵

∴

∴四邊形為矩形．

∴．

又∵，

∴．

即．

在和中，

∴．

∴，．

又∵四邊形為矩形，

∴四邊形為正方形．

∴．

∴．

②．

（2）

如圖，過點作，交延長線于點，

∵，，

∴．

又∵，

∴．

∴四邊形為矩形．

∴．

又∵，

∴，

即．

在和中，

∴．

∴，．

又∵四邊形為矩形，

∴四邊形為正方形．

∴．

∵，

∴．

∴．

（3）

如圖，過點作，交于點，

同理可證，，四邊形為正方形．

∴，．

∵，

∴．

∴．

∵，，

∴，．

∵，

∴．

∴．

∴．