Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點與軸交于、兩點

（點在點的左側），拋物線的頂點為．

（1）求拋物線的表達式；

（2）用配方法求點的坐標；

（3）點是線段上的動點．

①過點作軸的垂線交拋物線于點，若，求點的坐標；

②在①的條件下，點是坐標軸上的點，且點到和的距離相等，請直接寫出線段的長；

③若點是射線上的動點，且始終滿足，連接，，請直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②或；③+.

【解析】

（1）將點A和點B的坐標代入拋物線，即可得出其表達式；

（2）將拋物線解析式配方法，即可得出頂點坐標；

（3）①令y=0，即可得出點C坐標，根據點E在拋物線上設其坐標，利用PE=PC，列出等式，求解即可；

②首先設直線DE與x軸交于M，與y軸交于N，直線EA與x軸交于K，利用斜率判定點到和的距離相等，在頂角的角平分線上，進而即可得出EF是點E到坐標軸的距離；

③首先作D關于y軸的對稱點D′，當A與Q重合，D′、A、P在一條直線上時，取得最小值，即為D′P，然后求解即可.

（1）將點代入拋物線，得

將點代入拋物線，得

∴拋物線的解析式為：；

（2）由（1）得，

∴點的坐標為；

（3）①∵與軸交于、兩點（點在點的左側），

∴

∴或

∴點C的坐標為

∵點E在拋物線上，設點E坐標為，則點P坐標為

∴

∵

∴

∴或或

∵點是線段上的動點，

∴

∴點E的坐標為；

②設直線DE與x軸交于M，與y軸交于N，直線EA與x軸交于K，如圖所示：

根據E、D的坐標求得直線ED的斜率為：

根據E、A的坐標求得直線EA的斜率為：

∴△MEK是以MK為底邊的等腰三角形，△AEN是以AN為底邊的等腰三角形，

∵點到和的距離相等，在頂角的角平分線上

∴EF是點E到坐標軸的距離

∴EF的長為或；

③作D關于y軸的對稱點D′，當A與Q重合，D′、A、P在一條直線上時，取得最小值，即為D′P，如圖所示：

∵，

∴OA=OP=2

∴AP=

∵D

∴DA=

由對稱性，得D′A=DA=

∴D′P=D′A+AP=+

即的最小值為+.