Question

【題目】在數學問題中，我們常用幾何方法解決代數問題，借助數形結合的方法使復雜問題簡單化．

材料一：我們知道|a|的幾何意義是：數軸上表示數a的點到原點的距離；|a﹣b|的幾何意義是：數軸上表示數a，b的兩點之間的距離；|a+b|的幾何意義是：數軸上表示數a，﹣b的兩點之間的距離；根據絕對值的幾何意義，我們可以求出以下方程的解．

（1）|x﹣3|＝4

解：由絕對值的幾何意義知：

在數軸上x表示的點到3的距離等于4

∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1

（2）|x+2|＝5

解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其絕對值的幾何意義為：在數軸上x表示的點到﹣2的距離等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7

材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．

由|x﹣1|+|x+2|的幾何意義是數軸上表示數x的點到表示數1和﹣2兩點的距離的和，要使和最小，則表示數x的這點必在﹣2和1之間（包括這兩個端點）取值．

∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把數軸上表示x的點記為點P，由絕對值的幾何意義知：當﹣2≤x≤1時，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，則點P必在﹣2的左邊或1的右邊，且到表示數﹣2或1的點的距離均為0.5個單位．

故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解為：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．

閱讀以上材料，解決以下問題：

（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值為　 　；

（2）已知有理數x滿足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理數y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．

（3）試找到符合條件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此時的最小值及x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）﹣11或8；（3）當x＝，最小值為；當x＝時，最小值為

【解析】

（1）由閱讀材料直接可得；
（2）由已知可得：x=-3-1=-4或x=10+1=11，當y=3時，|y-3|+|y+2|+|y-5|有最小值7；
（3）當n是奇數時，中間的點為，所以當x=時，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=；當n是偶數時，中間的兩個點相同為，所以當x=時，|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=1+3+5+…+（n-3）+（n-1）=．

解：（1）由閱讀材料可得：：|x﹣3|+|x+2|的最小值為5，

故答案為5；

（2）|x+3|+|x﹣10|的最小值為13，

∵|x+3|+|x﹣10|＝15，

∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，

∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示數軸上表示y到﹣2，3，5之間的距離和最小，

∴當y＝3時，有最小值7，

∴x﹣y＝﹣11或x﹣y＝8；

（3）|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示數軸上點x到1，2，3，…，n之間的距離和最小，

當n是奇數時，中間的點為，

∴當x＝時，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝，

∴最小值為；

當n是偶數時，中間的兩個點相同為，

∴當x＝時，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝，

∴最小值為．