Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線l：y＝經過點A（4m，4），與y軸交于點B，拋物線經過點A，交y軸于點C．

⑴ 求直線l的解析式及拋物線的解析式；

⑵ 如圖2，點D是直線l在第一象限內的一點，過點D作直線EF∥y軸，交拋物線于點E，交x軸于點F，連接AF，若∠CEF＝∠CBA，求AF的長；

⑶ 在（2）的結論下，若點P是直線EF上一點，點Q是直線l上一點．當△PFA與△QPA全等時，直接寫出點P和相應的點Q的坐標.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)5;(3)見解析.

【解析】分析：(1)把點A代入直線l解析式中，求出m，進而求出點A坐標，再代入拋物線解析式中，即可得出結論;(2)先判斷出四邊形CBDE是平行四邊形，然后求出a,再得出點F坐標，最后由勾股定理得出結論；(3)分兩種情況，利用全等三角形的對應邊相等，建立方程求解，然后求出結論.

詳解：⑴由直線l：y=經過點A（4m，4）

得：，解得：m=1

∴ 直線l的解析式為：y=

點A的坐標為（4，4）

∵ 拋物線經過點A

∴ 解得：b=1

∴ 拋物線的解析式為：

⑵如圖1，過點A作AG⊥x軸，垂足為點G.

由點D是直線y=上的點，設點D的坐標為（4a，3a＋1）

∵ EF∥y軸

∴ 點E、F的橫坐標為4a，∠CEF＋∠ECB=180°

∵ ∠CBA=∠CEF ∴ ∠CBA＋∠ECB=180°

∴ CE∥BD

∴ 四邊形CBDE是平行四邊形

∴ ED=BC

由BC=得：ED=3

將x=4a代入得：

∴

解得： ,

∴ 點F（1，0）

∴ GF=4－1=3

△AFG中，∠AGF=90°，AG=4

∴ .

圖1

⑶ 如圖2，當點P（1，7）時，點Q（8，7）；

如圖3，當點P（1，1）時，點Q（0，1）；

如圖4，當點P（1，）時，點Q（，）；

圖2 圖3 圖4