Question

【題目】在中，，于點，平分交于點，交于點，于點，連接．

（1）如圖1，求證：四邊形是菱形；

（2）如圖2，若為的中點，過點作交于點，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中是長倍的所有線段．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB、BF、CF、EM．

【解析】

（1）先證明四邊形AEFG是平行四邊形，再證明AE=AG即可；

（2）先證明AB=AG，再分別證明AB=BF=CF=EM，CM=AG即可．

解：（1）∵AD⊥BC，GF⊥BC，

∴∠ADF=∠GFC=90°，

∴AE∥GF，

在△ABG和△FBG中， ，

∴△ABG≌△FBG，

∴AG=FG，

∵∠FBG+∠BED=90°，

∵∠BED=∠AEG，

∴∠FBG+∠AEG=90°，

∵∠ABG+∠AGE=90°，

∵∠ABG=∠FBG，

∴∠AEG=∠AGE，

∴AE=AG，

∴AE=FG，

∴四邊形AEFG是平行四邊形，

∵AE=AG∴四邊形AEFG是菱形．
（2）∵四邊形AEFG是菱形，

∴AE=AG，

∵BE=EG，∠BAG=90°，

∴AE=BE=EG，

∴△AEG是等邊三角形，

∴∠AGE=60°，

在RT△ABG中，∵∠ABG=30°，

∴AB=AG，

∵∠C=30°，∴BC=2AB，

∴BE=GE，EF∥AC，EM∥BC，

∴BF=FC，CM=GM，

在RT△AEM中，∵∠AME=∠C=30°，∠GEM+∠GME=60°，

∴∠GEM=∠GME=30°，

∴EG=AG=GM=CM，

∵EM∥FC，EF∥CM，

∴四邊形EFCM是平行四邊形，

∴AB=BF=CF=EM=CM，

∴是CM長倍的所有線段有AB、BF、CF、EM．