Question

【題目】如圖，BE是圓O的直徑，A在EB的延長線上，AP為圓O的切線，P為切點，弦PD垂直于BE于點C．
（1）求證：∠AOD=∠APC；
（2）若OC：CB=1：2，AB=6，求圓O的半徑及tan∠APB．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：連接OP．
∵OP=OD，∴∠OPD=∠D；
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°；
在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，
又∵AP是⊙O的切線，
∴AP⊥OP，
則∠OPD+∠APC=90°，
∴∠AOD=∠APC；
（2）連接PE．
∴∠BPE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
∵AP是⊙O的切線，
∴∠APB=∠OPE=∠PEA；
∵OC：CB=1：2，
∴設OC=x，則BC=2x，OP=OB=3x；
在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：
PC2=OP2﹣OC2=8x2；
在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：
PC2=OCAC，即8x2=x（2x+6），6x2=6x，
解得x=0（舍去），x=1；
∴OP=OB=3，PC=2，CE=OC+OE=3+1=4，
∴tan∠APB=tan∠PEC==，
∴⊙O的半徑為3，∠APB的正切值是．

【解析】（1）連接OP．可結合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性質進行證明；
（2）根據OC、BC的比例關系，可用未知數表示出OC、BC的表達式，進而可得OP、OB的表達式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根據射影定理得：PC2=PCAC，PC2的表達式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知數的知，從而確定PC、CE的長，也就能求出⊙O的半徑和∠APB的正切值．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．