Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A，且經過點B（3，﹣3）．

（1）求頂點A的坐標

（2）若P是拋物線上且位于直線OB上方的一個動點，求△OPB的面積的最大值及比時點P的坐標；

（3）如圖2，將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.

【解析】

（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；

（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q，求出直線BP的解析式，表示出點Q的坐標，根據三角形的面積公式列出函數關系式，利用二次函數的最值可得P點坐標；

（3）根據平移規律，可得新拋物線，根據聯立拋物線與OA的解析式，可得C、D點的橫坐標，根據勾股定理，可得答案．

解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，

解得m=2，

∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，

∴頂點A的坐標是（﹣1，1）；

（2）過點P作y軸的平行線交OB與點Q.

∵直線OB的解析式為y=﹣x，

故設P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），

∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，

∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，

當n=時，S△OPB的最大值為．

此時y=﹣n2+2n=，

∴P（，）；

（3）∵直線OA的解析式為y=x，

∴可設新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，

聯立，

∴﹣（x﹣a）2+a=x，

∴x1=a，x2=a﹣1，

即C、D兩點間的橫坐標的差為1，

∴CD=．