Question

【題目】如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結論：
①四邊形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；
④當點H與點A重合時，EF=2 ．
以上結論中，你認為正確的有 ． （填序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，
∴FH∥CG，EH∥CF，
∴四邊形CFHE是平行四邊形，
由翻折的性質得，CF=FH，
∴四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；
∴∠BCH=∠ECH，
∴只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，（故②錯誤）；
點H與點A重合時，設BF=x，則AF=FC=8﹣x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2 ，
即42+x2=（8﹣x）2 ，
解得x=3，
點G與點D重合時，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，（故③正確）；
過點F作FM⊥AD于M，

則ME=（8﹣3）﹣3=2，
由勾股定理得，
EF= = =2 ，（故④正確）；
綜上所述，結論正確的有①③④共3個，
故答案為①③④．
①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據翻折的性質可得CF=FH，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；②根據菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，判斷出②錯誤；③點H與點A重合時，設BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點D重合時，CF=CD，求出BF=4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出③正確；④過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．