Question

如圖,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,過點C作CD⊥AC交AB于點D.

(1)尺規作圖：過A，D，C三點作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；

(2)求證：BC是過A，D，C三點的圓的切線；

(3)若過A，D，C三點的圓的半徑為,則線段BC上是否存在一點P，使得以P，D，B為頂點的三角形與△BCO相似.若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

 

（1）略

（2）證明略

（3）理由略

解析:解：（1）作出圓心O，  …………………………………………………1分

以點O為圓心，OA長為半徑作圓.…………………………………………1分

（2）證明：∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°.

∴AD是⊙O的直徑……………1分

連結OC，∵∠A=∠B=30°,

∴∠ACB=120°,又∵OA=OC,

∴∠ACO=∠A =30°,…………1分

∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°. 

∴BC⊥OC,

∴BC是⊙O的切線. ……………………………………………1分

（3）存在. ……………………………………………………………………………1分

∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°,

∴∠BCD=∠B,  即DB=DC.

又∵在Rt△ACD中，DC=AD, ∴BD= .

解法一：①過點D作DP1// OC，則△P1D B∽△COB, ，

      ∵BO=BD+OD=,

∴P1D=×OC=× =.        ……………………………1分

       ②過點D作DP2⊥AB,則△BDP2∽△BCO, ∴，

       ∵BC＝

∴.………………………………………1分

解法二：①當△B P1D∽△BCO時，∠DP1B=∠OCB=90°.

在Rt△B P1D中，

DP1=.                           ………………1分

②當△B D P2∽△BCO時，∠P2DB=∠OCB=90°.

在Rt△B P2D中，

DP2=.                                ……………1分