Question

已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E點，CF⊥AD于F點，在AB上有一點M，且CM=CD．
（1）請你用尺規作出點M的位置，
（2）若AF=12，DF=4，求AM的長，
（3）試說明∠CDA與∠CMA的關系．

Answer 1

分析：（1）以點C為圓心，以CD長為半徑畫弧，與AB的交點即為點M；
（2）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CE=CF，再利用“HL”證明△CDF和△CEM全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=ME，然后分點M在點E的左邊與右邊兩種情況討論求解；
（3）根據全等三角形對應角相等可得∠CDF=∠CME，然后分兩種情況討論解答．

解答：解：（1）點M的位置如圖所示；

（2）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△CDF和△CEM中，

CD=CM CE=CF

，
∴△CDF≌△CEM（HL），
∴DF=ME=4，
點M在點E的左邊時，AM=AF-ME=12-4=8，
點M在點E的右邊時，AM=AE+ME=12+4=16，
綜上所述，AM的長為8或16；

（3）∵△CDF≌△CEM，
∴∠CDF=∠CME，
點M在點E的左邊時，∠CDA=∠CMA，
點M在點E的右邊時，∠CDA+∠CMA=180°，
綜上所述，∠CDA與∠CMA相等或互補．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并求出三角形全等是解題的關鍵，難點在于要分情況討論．