Question

【題目】如圖1，平行四邊形在平面直角坐標系中，(點在點的左側)兩點的橫坐標是方程的兩個根，點在軸上，其中．

若是第一象限位于直線上方的一點，過作于過作軸于點，作軸交直線于為中點，其中的周長是；若為線段上一動點，為直線上一動點，連接，求的最小值，此時軸上有一個動點，當最大時，求點坐標；

在的情況下，將繞點逆時針旋轉后得到如圖2，將線段沿著軸平移記平移過程中的線段為，在平面直角坐標系中是否存在點，使得以點為頂點的四邊形為菱形，若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點的坐標為: ，，

【解析】

（1）通過解方程，求得點A、B的坐標，結合圖形得到點C、D、E的坐標，，軸，得到為等腰直角三角形，由周長可以求出三邊長，利用“將軍飲馬”模型，兩動一定求出最小值，以及兩定一動求出最大值即可；

（2）根據題意，設點，則，，表示出E，E，若以點為頂點的四邊形為菱形，則分三種情況討論，分別利用鄰邊相等即可求出．

由題意可得:

∵解方程的兩個根分別為：，，點在點的左側

∴，

直線，

直線，

為等腰直角三角形，

的周長為，

，

，

點關于的對稱點為:

過點做分別交、于點，

則，

此時的值最小為，

則，

點關于軸對稱，

直線

，

故答案為：．

存在．

設點，則，

由題意可得: ，

，，

當時，，

解得:，

點的坐標為:，

當時，，

解得:，

點的坐標為:，

當時，，

解得:，

點的坐標為:，

點的坐標為: ，，，

故答案為：，，．