Question

【題目】（1）如圖①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，連結CD，AE．

求證：△BCD≌△BAE．

（2）在（1）的條件下，當時，延長CD交AE于點F，如圖②，求AF的長．

（3）在（2）的條件下，線段BC上是否存在一點P，使得△PBD為等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足△PBD為等腰三角形時，線段PB的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2-1; (3) 存在, 1； .

【解析】分析：(1)根據同角的余角相等可得：∠CBD=∠ABE，再利用SAS即可得出結果.（2）由△BCD≌△BAE，得到∠OAF=∠OCB，根據“8字型”證明∠AFO=∠CBO=90°，在RT△BDC中利用勾股定理求出CD，再證明BD=EF即可解決問題．（3）分情況討論得出結果，繼而再求出PB即可解決問題．

本題解析：

（1）∵∠ABC=∠DBE=90°即∠CBD+∠ABD=∠ABD+∠ABE=90°

∴∠CBD=∠ABE

又∵AB=BC，DB=BE

∴△BCD≌△BAE（SAS）

(2)如題圖②中，設AB與CF交于點O．

由（1）可知：△BCD≌△BAE，

∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，

∵∠AOF=∠COB，

∴∠AFO=∠CBO=90°，

∴CF⊥AE，

∵BD∥AE，

∴BD⊥CF，

在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，

∴CD=AE=,

∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，

∴四邊形EFDB是矩形，

∴EF=BD=1，

∴AF=AE-EF=2-1.

（3）存在.

當PB=BD=1時，△PBD為等腰三角形，PB=1；

當PD=BD=1時，△PBD為等腰三角形，PB=