Question

【題目】如圖，矩形的頂點在反比例函數的圖象上，且，.若動點從開始沿向以每秒1個單位長度的速度運動，同時動點從開始沿向以每秒2個單位長度的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動，設運動時間為秒.

（1）求反比例函數的表達式；

（2）當時，在軸上存在點，使的周長最小，請求出此時點的坐標，并直接寫出的周長最小值；

（3）在雙曲線上是否存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出滿足條件的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點坐標為，；（3）存在，或2

【解析】

（1）通過AB,BC的長度，求出點B的坐標，將點B的坐標代入即可求出反比例函數的表達式；

（2）當時，可求出E,F的坐標，作E關于y軸的對稱點E’，連接E’F，則E’F與y軸的交點即為所求的點D，然后再求的周長的最小值即可；

（3）分別用含t的代數式表示出E,F,B的坐標，分可以分別與、、相對三種情況，根據相對關系表達出坐標，最后將坐標代入反比例函數解析式求解.

（1）

∵點B在反比例函數圖像上，

（2）時，， ，，

∴，.

作點關于軸得對稱點，連接交軸與一點，即為所求的點，

設直線解析式為

將點E’,F代入解析式中得，解得，

∴直線解析式為，

令得，

∴點坐標為，

在中，由勾股定理得，，

在中，由勾股定理得，，

∴；

（3）存在，或2，

由題意得：、、，

①與相對時，此時M在F的右側，，

∵四邊形BEFM是平行四邊形，

，

，

∵點M在反比例函數上，

∴，解得，

由于，∴；

②與相對，此時M在E的正上方，，

∵四邊形EFBM是平行四邊形，

，

∵點M在反比例函數上，

∴，解得或2，

由于，∴.

③與相對時，點M不在反比例函數圖像上，所以此時不存在點M

綜上所述，或2