Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連結GD．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）求FG的長；
（3）求tan∠FGD的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OD，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，

而OD=OB，

∴△ODB是等邊三角形，∠ODB=60°，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線

（2）解：∵OD∥AC，點O為AB的中點，

∴OD為△ABC的中位線，

∴BD=CD=6．

在Rt△CDF中，∠C=60°，

∴∠CDF=30°，

∴CF= CD=3，

∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

在Rt△AFG中，∵∠A=60°，

∴FG=AF×sinA=9× =

（3）解：過D作DH⊥AB于H．

∵FG⊥AB，DH⊥AB，

∴FG∥DH，

∴∠FGD=∠GDH．

在Rt△BDH中，∠B=60°，

∴∠BDH=30°，

∴BH= BD=3，DH= BH=3 ．

在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，

∴AG= AF= ，

∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣ ﹣3= ，

∴tan∠GDH= = = ，

∴tan∠FGD=tan∠GDH= ．

【解析】（1）連結OD，根據等邊三角形的性質得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判斷OD∥AC，又DF⊥AC，則OD⊥DF，根據切線的判定定理可得DF是⊙O的切線；（2）先證明OD為△ABC的中位線，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系得CF= CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根據正弦的定義計算FG的長；（3）過D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出FG∥DH，根據平行線的性質可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH= BD=3，DH= BH=3 ．解Rt△AFG，得AG= AF= ，則GH=AB﹣AG﹣BH= ，于是根據正切函數的定義得到tan∠GDH= = ，則tan∠FGD可求．