Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）連接OA，如圖，先根據圓周角定理得到∠AOC=2∠B=120°，則∠AOP=60°，再計算出∠OCA的度數，接著利用AP=AC得到∠P=∠ACO=30°，然后根據三角形的內角和可計算出發∠APO=90°,于是利用切線的判定定理可判斷出PA是⊙O的切線；

（2）在Rt△AOP中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到PO=2OA=6，PA=OA=3，然后根據三角形面積公式和扇形面積公式進行計算即可.

試題解析：（1）連接OA，如圖，

∵∠AOC=2∠B=120°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=（180°-120°）=30°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACO=30°，

∴∠PAO=180°-30°-60°=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）在Rt△AOP中，PO=2OA=6，PA=OA=3，

∴S陰影部分=S△PAO-S扇形OAD=．