Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CO⊥AB于點O，CD是⊙O的切線，切點為D．連接BD，交OC于點E．
（1）求證：∠CDE=∠CED；
（2）若AB=13，BD=12，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵CD是⊙O的切線，切點為D．

∴∠ODC=90°，

∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，

∵OC⊥AB，

∴∠CED=∠OEB=90°﹣∠B，

∵∠CDE=90°﹣∠ODB，

∴∠CDE=∠CED；

（2）連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=13，

∴OB= ，

∵∠ADB=∠BOE，∠B=∠B，

∴△ABD∽△EBO，

∴ ．

∴ ，

∴EB= ，

∴DE=BD﹣EB= ．

【解析】（1）連接OD，利用切線的性質和圓的半徑相等得到的等腰三角形即可證明∠CDE=∠CED；（2）連接AD，利用圓周角定理和已知條件證明△ABD∽△EBO，利用相似三角形的性質即可求出EB的長，進而求出DE的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．