Question

【題目】如圖，△ABC為⊙O的內接三角形，P為BC延長線上一點，∠PAC=∠B，AD為⊙O的直徑，過C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．
（1）判斷直線PA與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求證：AG2=AFAB；
（3）若⊙O的直徑為10，AC=2 ，AB=4 ，求△AFG的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：PA與⊙O相切．理由：

連接CD，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠CAD=90°，

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，

∴∠PAC=∠D，

∴∠PAC+∠CAD=90°，

即DA⊥PA，

∵點A在圓上，

∴PA與⊙O相切

（2）解：證明：如圖2，連接BG，

∵AD為⊙O的直徑，CG⊥AD，

∴ = ，

∴∠AGF=∠ABG，

∵∠GAF=∠BAG，

∴△AGF∽△ABG，

∴AG：AB=AF：AG，

∴AG2=AFAB

（3）解：解：如圖3，連接BD，

∵AD是直徑，

∴∠ABD=90°，

∵AG2=AFAB，AG=AC=2 ，AB=4 ，

∴AF= = ，

∵CG⊥AD，

∴∠AEF=∠ABD=90°，

∵∠EAF=∠BAD，

∴△AEF∽△ABD，

∴ ，

即 ，

解得：AE=2，

∴EF= =1，

∵EG= =4，

∴FG=EG﹣EF=4﹣1=3，

∴S△AFG= FGAE= ×3×2=3．

【解析】（1）首先連接CD，由AD為⊙O的直徑，可得∠ACD=90°，然后由圓周角定理，證得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可證得DA⊥PA，繼而可證得PA與⊙O相切．（2）首先連接BG，易證得△AFG∽△AGB，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論；（3）首先連接BD，由AG2=AFAB，可求得AF的長，易證得△AEF∽△ABD，即可求得AE的長，繼而可求得EF與EG的長，則可求得答案．