Question

如圖，P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，則P′A：PB=（　　）

A．1： 2

B．1：2

C． 3 ：2

D．1： 3

Answer 1

如圖，連接AP，∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到BP′，
∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，
∴∠ABP=∠CBP′，
在△ABP和△CBP′中，
∵

BP=BP′ ∠ABP=∠CBP′ AB=BC

，
∴△ABP≌△CBP′（SAS），
∴AP=P′C，
∵P′A：P′C=1：3，
∴AP=3P′A，
連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=

2

PB，
∵∠AP′B=135°，
∴∠AP′P=135°-45°=90°，
∴△APP′是直角三角形，
設(shè)P′A=x，則AP=3x，
根據(jù)勾股定理，PP′=

AP2-P′A2

=

(3x)2-x2

=2

2

x，
∴PP′=

2

PB=2

2

x，
解得PB=2x，
∴P′A：PB=x：2x=1：2．
故選B．