Question

【題目】如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是______．

Answer 1

【答案】4

【解析】

從已知條件結合圖形認真思考，通過構造全等三角形，利用三角形的三邊的關系確定線段和的最小值．

解：如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE、ME．

∵∠BAC的平分線交BC于點D，

∴∠EAM=∠NAM，

在△AME與△AMN中， ，

∴△AME≌△AMN（SAS），

∴ME=MN．

∴BM+MN=BM+ME≥BE．

∵BM+MN有最小值．

當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，

又AB=4，∠BAC=45°，此時，△ABE為等腰直角三角形，

∴BE=4，

即BE取最小值為4，

∴BM+MN的最小值是4．

故答案為：4．