Question

【題目】如圖，BC⊥y軸，BC＜OA，點A、點C分別在x軸、y軸的正半軸上，D是線段BC上一點，BD＝OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF＝45°，將△AEF沿一條邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形，則線段OE的值為_____．

Answer 1

【答案】6﹣或6或9﹣3

【解析】

可得到∠DOE＝∠EAF，∠OED＝∠AFE，即可判定△DOE∽△EAF，分情況進行討論：①當EF＝AF時，△AEF沿AE翻折，所得四邊形為菱形，進而得到OE的長；②當AE＝AF時，△AEF沿EF翻折，所得四邊形為菱形，進而得到OE的長；③當AE＝EF時，△AEF沿AF翻折，所得四邊形為菱形，進而得到OE的長．

解：連接OD，過點BH⊥x軸，

①沿著EA翻折，如圖1：∵∠OAB＝45°，AB＝3，

∴AH＝BH＝ABsin45°=，

∴CO＝，

∵BD＝OA＝2，

∴BD＝2，OA＝8，

∴BC＝8﹣，

∴CD＝6﹣；

∵四邊形FENA是菱形，

∴∠FAN＝90°，

∴四邊形EFAN是正方形，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∵∠DEF＝45°，

∴DE⊥OA，

∴OE＝CD＝6﹣；

②沿著AF翻折，如圖2：

∴AE＝EF，

∴B與F重合，

∴∠BDE＝45°，

∵四邊形ABDE是平行四邊形

∴AE＝BD＝2，

∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；

③沿著EF翻折，如圖3：

∴AE＝AF，

∵∠EAF＝45°，

∴△AEF是等腰三角形，

過點F作FM⊥x軸，過點D作DN⊥x軸，

∴△EFM∽△DNE，

∴，

∴，

∴NE＝3﹣，

∴OE＝6﹣+3﹣＝9﹣3；

綜上所述：OE的長為6﹣或6或9﹣3，

故答案為6﹣或6或9﹣3．