Question

【題目】矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m，D為AB的中點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)D．

（1）當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線y＝﹣x2+bx+c的函數(shù)關(guān)系式；

（2）延長BC至點(diǎn)E，連接OE，若OD平分∠AOE，拋物線與線段CE相交，求拋物線的頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+1；（2）此時(shí)拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

(1)由m＝1，得：點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C（4，0），點(diǎn)B（4，1），點(diǎn)D（2，1），根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案；

(2)由待定系數(shù)法得：拋物線的解析式為y＝﹣x2+2mx+m，過點(diǎn)D作DA'⊥OE，交x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N，連接AA'，求出A′點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m），進(jìn)而得到：直線OA′的解析式為：y＝﹣x，從而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)和拋物線l與直線CE的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線l與線段CE相交，求出≤m≤，進(jìn)而求出拋物線頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo).

（1）如圖1，

∵m＝1，

∴點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C（4，0），點(diǎn)B（4，1），

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D（2，1）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)D，

∴，解得：

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+1；

（2）∵點(diǎn)A（0，m），點(diǎn)C（4m，0），點(diǎn)B（4m，m），

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D（2m，m）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)D，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2mx+m，

如圖2，過點(diǎn)D作DA'⊥OE，交x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N，連接AA'，

∵OD平分∠AOE，

∴∠AOD＝∠A'OD，

又∵∠OAD＝∠OA′D＝90°，OD＝OD，

∴△AOD≌△A'OD（AAS）

∴OA＝OA′＝m，AD＝A′D＝2m，∠ADO＝∠A′DO，

∵矩形OABC中，AD∥OC，

∴∠ADO＝∠DOQ，

∴∠A′DO＝∠DOQ，

∴DQ＝OQ．

設(shè)DQ＝OQ＝x，則A′Q＝2m﹣x，

在Rt△OA′Q中，∵OA′2+A′Q2＝OQ2，

∴m2+（2m﹣x）2＝x2，

解得：x＝m．

∵S△OA′Q＝OQA′N＝OA′A′Q，

∴A′N＝，

∴ON＝，

∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m），

∴直線OA′的解析式為：y＝﹣x，

當(dāng)x＝4m時(shí)，y＝﹣×4m＝﹣3m，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，﹣3m）．

當(dāng)x＝4m時(shí)，﹣x2+2mx+m＝﹣（4m）2+2m4m+m＝﹣8m2+m，

即拋物線l與直線CE的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（4m，﹣8m2+m），

∵拋物線l與線段CE相交，

∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，

∵m＞0，

∴﹣3≤﹣8m+1≤0，

解得：≤m≤；

∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m，且≤m≤，

∴當(dāng)x＝m時(shí)，y有最大值m2+m，

又∵m2+m＝（m+）2﹣，

∴當(dāng)≤m≤時(shí)，m2+m隨m的增大而增大，

∴當(dāng)m＝時(shí)，頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置，即：m2+m＝（）2+＝，

故拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（，）．