Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點D為邊AB上一動點，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足為E，F. 連接EF，CD.

（1）求證：EF＝CD；

（2）當EF為何值時，EF∥AB；

（3）當四邊形ECFD為正方形時，求EF的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據已知條件可證明四邊形的DECF是矩形，即可得證；

（2）由勾股定理求得AB的值，再由三角形中位線定理求得EF的值；

（3）當四邊形ECFD為正方形時，證明△AED∽△DFB求得正方形的邊長，再由勾股定理求出EF的長即可.

（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=∠DFC=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴四邊形DECF是矩形，

∴EF=CD；

（2）如圖，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=2，BC=4，

∴AB=,

∵當EF是△ABC的中位線時，EF∥AB，

∴EF=;

（3）當ECFD為正方形時，

∴DE=EC=CF=FD，DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠AED=∠DFB=90°，

∴△AED∽△DFB，

∴，

設DF=x，則DE=x，AE=2-x，BF=4-x，

∴，解得，x=

∴DE=DF=

∴EF=.