Question

【題目】某公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規定其銷售單價每千克不高于60元且不低于30元，經市場調查發現，日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數，且當x=60時，y=80，當x=50時，y=100．

（1）求y與x的函數解析式；

（2）求該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式；

（3）求當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）w=﹣2x2+260x﹣6000；（3）當銷售單價為60元時，該公司日獲利最大，最大利潤是2400元．

【解析】

試題分析：（1）根據日銷售量y（千克）是銷售單價x（元）的一次函數，且當x=60時，y=80，當x=50時，y=100，可以求得y與x的函數解析式；

（2）根據公司購進一種化工原料若干千克，價格為每千克30元，物價部門規定其銷售單價每千克不高于60元且不低于30元，和第一問中求得的y與x的函數解析式，可以求得該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式；

（3）將第（2）問中的函數解析式化為頂點式，然后根據二次項系數和對稱軸和x的取值范圍可以確定當銷售單價為多少元時，該公司日獲利最大，最大利潤是多少元．

解；（1）由題意可得，設y與x的函數解析式是：y=kx+b，

∵當x=60時，y=80，當x=50時，y=100，

∴，

解得k=﹣2，b=200．

即y與x的函數解析式是：y=﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）由題意可得，

w=（x﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+260x﹣6000，

即該公司銷售該原料日獲利w（元）與銷售單價x（元）之間的函數解析式是：w=﹣2x2+260x﹣6000；

（3）∵w=﹣2x2+260x﹣6000

∴w=﹣2（x﹣65）2+2450

∴當x＜65時，y隨x的增大而增大，

∵30≤x≤60，

∴當x=60時，w取得最大值，此時w=﹣2（60﹣65）2+2450=2400（元），

即當銷售單價為60元時，該公司日獲利最大，最大利潤是2400元．