Question

【題目】已知直線y=﹣ x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y=﹣ （x﹣ ）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有（ ）
A.3個
B.4個
C.5個
D.6個

Answer 1

【答案】A
【解析】解：以點B為圓心線段AB長為半徑作圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC，如圖所示．

令一次函數y=﹣ x+3中x=0，則y=3，
∴點A的坐標為（0，3）；
令一次函數y=﹣ x+3中y=0，則﹣ x+3=0，
解得：x= ，
∴點B的坐標為（ ，0）．
∴AB=2 ．
∵拋物線的對稱軸為x= ，
∴點C的坐標為（2 ，3），
∴AC=2 =AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形．
令y=﹣ （x﹣ ）2+4中y=0，則﹣ （x﹣ ）2+4=0，
解得：x=﹣ ，或x=3 ．
∴點E的坐標為（﹣ ，0），點F的坐標為（3 ，0）．
△ABP為等腰三角形分三種情況：①當AB=BP時，以B點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M、N三點；②當AB=AP時，以A點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點，；③當AP=BP時，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點；
∴能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有3個．
故選A．
以點B為圓心線段AB長為半徑作圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC，由直線y=﹣ x+3可求出點A、B的坐標，結合拋物線的解析式可得出△ABC等邊三角形，再令拋物線解析式中y=0求出拋物線與x軸的兩交點的坐標，發現該兩點與M、N重合，結合圖形分三種情況研究△ABP為等腰三角形，由此即可得出結論．