Question

已知當時，二次函數y=ax²+bx+c取得最值，且函數圖象過點A（0，1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）把函數y=ax²+bx+c圖象向左平移d個單位后所得函數圖象的解析式是y=ax²+x+e，試求e的值；
（3）若函數y=ax²+x+e的圖象與x軸交于兩點A（α，0），B（β，0），且A點在B點左邊，試求2α⁴-α³+α²+3α-5的值．

Answer 1

解：（1）∵當x=時，二次函數y=ax²+bx+c取得最值，
∴y=ax²+bx+c=a（x-）²-，
∵圖象過點A（0，1）得：a-=1．
∴a=1．
∴y=（x-）²-=x²-3x+1，
∴a=1，b=-3，c=1．

（2）平移后，函數圖象的頂點是（-d，-）．
函數式為：y=（x-+d）²-=x²+（2d-3）x+d²-3d+1，
∵函數圖象的解析式是y=ax²+x+e，
∴2d-3=1，e=d²-3d+1．
解得d=2，e=-1．

（3）∴y=ax²+x+e=x²+x-1，
∵函數y=ax²+x+e的圖象與x軸交于兩點A（α，0），B（β，0），且A點在B點左邊，
∴α是方程x²+x-1=0的較小根．
∴α²=1-α，且α=．
∴2α⁴-α³+α²+3α-5=2（1-α）²-α（1-α）+1-α+3α-5
=3a²-3a-2=1-6a=4+3．
分析：（1）由當時，二次函數y=ax²+bx+c取得最值，即可得y=ax²+bx+c=a（x-）²-，又由函數圖象過點A（0，1），利用待定系數法即可求得此二次函數的解析式，即可求得a，b，c的值；
（2）由函數y=ax²+bx+c圖象向左平移d個單位后所得函數圖象的解析式是y=ax²+x+e，即可知平移后，函數圖象的頂點是（-d，-），然后可得頂點式，再整理成一般式，根據多項式相等的知識，即可求得e的值；
（3）由函數y=ax²+x+e的圖象與x軸交于兩點A（α，0），B（β，0），且A點在B點左邊，即可得α是方程x²+x-1=0的較小根，繼而求得：α²=1-α與α的值，然后化簡2α⁴-α³+α²+3α-5，再代入α的值即可求得答案．
點評：此題考查了二次函數的頂點式與一般式的轉化，點與函數的關系，待定系數法求函數的解析式等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與整體思想的應用．