Question

【題目】已知：△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB

（1）如圖1，∠BOC和∠A有怎樣的數量關系？請說明理由

（2）如圖2，過O點的直線分別交△ABC的邊AB、AC于E、F（點E不與A，B重合，點F不與A、C重合），BP平分外角∠DBC，CP平分外角∠GCB，BP，CP相交于P．求證：∠P＝∠BOE+∠COF；

（3）如果（2）中過O點的直線與AB交于E（點E不與A、B重合），與CA的延長線交于F在其它條件不變的情況下，請直接寫出∠P、∠BOE、∠COF三個角之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）∠BOC＝90°+∠A，理由詳見解析；（2）詳見解析；（3）∠BOE+∠COF﹣∠P＝180°．

【解析】

（1）根據三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB的度數，再根據角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數，然后利用三角形的內角和等于180°列式計算即可得解；

（2）證明∠P＝90°﹣∠A，得到∠P+∠BOC＝180°即可解決問題；

（3）畫出圖形由∠P+∠BOC＝180°，∠BOC+∠BOE+∠COF＝360°，可得∠BOE+∠COF﹣∠P＝180°．

解：（1）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB

＝（∠ABC+∠ACB）

＝（180°﹣∠A）

＝90°﹣∠A，

在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；

（2）∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠GCB，

∴∠PBC＝∠CBD，∠PCB＝∠BCG，

∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP）

＝180°﹣（∠CBD+∠BCG）

＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

＝180°﹣（180°+∠A）

＝90°﹣∠A，

∴∠P+∠BOC＝180°，

∵∠BOC+∠BOE+∠COF＝180°，

∴∠P＝∠BOE+∠COF；

（3）如圖3中，

∵∠P+∠BOC＝180°，∠BOC+∠BOE+∠COF＝360°，

∴∠BOE+∠COF﹣∠P＝180°．