Question

【題目】如圖所示，點是正方形的對角線上一點，于，于，連接，給出下列四個結論：

①；②一定是等腰三角形；③；④，

其中正確結論的序號是________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

連接PC，根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ABP＝∠CBP＝45°，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP全等，根據全等三角形對應邊相等可得AP＝PC，對應角相等可得∠BAP＝∠BCP，再根據矩形的對角線相等可得EF＝PC，對邊相等可得PF＝EC，再判斷出△PDF是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍解答即可．

如圖，連接PC，

在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，

∵在△ABP和△CBP中，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，

又∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴四邊形PECF是矩形，

∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，

∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正確；

∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，

∴△PDF是等腰直角三角形，

∴PD＝PF，

又∵矩形的對邊PF＝EC，

∴PD＝EC，故④正確；

只有點P為BD的中點或PD＝AD時，△APD是等腰三角形，故②錯誤；

綜上所述，正確的結論有①③④．

故答案為：①③④．