Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，設點P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點．

定義圖形W的測度面積：若|x1﹣x2|的最大值為m，|y1﹣y2|的最大值為n，則S=mn為圖形W的測度面積．

例如，若圖形W是半徑為1的⊙O，當P，Q分別是⊙O與x軸的交點時，如圖1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；當P，Q分別是⊙O與y軸的交點時，如圖2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．則圖形W的測度面積S=mn=4

（1）若圖形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．

①如圖3，當點A，B在坐標軸上時，它的測度面積S= ；

②如圖4，當AB⊥x軸時，它的測度面積S= ；

（2）若圖形W是一個邊長1的正方形ABCD，則此圖形的測度面積S的最大值為 ；

（3）若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1,1；（2）2；（3）12≤S≤．

【解析】

試題分析：（1）由測度面積的定義利用它的測度面積S=|OA||OB|求解即可；

②利用等腰直角三角形的性質求出AC，AB，利用測度面積S=|AB||OC|求解即可；

（2）先確定正方形有最大測度面積S時的圖形，即可利用測度面積S=|AC||BD|求解．

（3）分兩種情況當A，B或B，C都在x軸上時，當頂點A，C都不在x軸上時分別求解即可．

試題解析：（1）①如圖3，

∵OA=OB=1，點A，B在坐標軸上，

∴它的測度面積S=|OA||OB|=1，

故答案為：1．

②如圖4，

∵AB⊥x軸，OA=OB=1．

∴AB=，OC=，

∴它的測度面積S=|AB||OC|=×=1，

故答案為：1．

（2）如圖5，圖形的測度面積S的值最大，

∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形．

∴它的測度面積S=|AC||BD|=×=2，

故答案為：2．

（3）設矩形ABCD的邊AB=4，BC=3，由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積的大小，將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上，

當A，B或B，C都在x軸上時，

如圖6，圖7，

矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時S=12．

當頂點A，C都不在x軸上時，如圖8，過點A作直線AH⊥x軸于點E，過C點作CF⊥x軸于點F，過點D作直線GH∥x軸，分別交AE，CF于點H，G，則可得四邊形EFGH是矩形，

當點P，Q與點A，C重合時，|x1﹣x2|的最大值為m=EF，|y1﹣y2|的最大值為n=GF．

圖形W的測度面積S=EFGF，

∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，

∴∠CBF=∠BAE，

∵∠AEB=∠BFC=90°，

∴△AEB∽△BFC，

∴，

設AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），則BF=3a，FC=3b，

在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，

∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，

∵b＞0，

∴，

在△ABE和△CDG中，

∴△ABE≌△CDG（AAS）

∴CG=AE=4a，

∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，

∴圖形W的測度面積S=EFGF=（4b+3a）（3b+4a）

=12a2+12b2+25a=12+25=12+25，

當時，即a=時，測度面積S取得最大值12+25×=，

∵a＞0，b＞0，

∴，

∴S＞12，

綜上所述：測度面積S的取值范圍為12≤S≤．