Question

【題目】定義：如圖，若雙曲線（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于兩點(diǎn)A，B，則線段AB的長稱為雙曲線（k＞0）的對徑．

（1）求雙曲線的對徑；

（2）若某雙曲線（k＞0）的對徑是．求k的值．

Answer 1

【答案】(1) 雙曲線的對徑是2；（2）25

【解析】

過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C．

（1）先解方程組，可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），即OC=AC=1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA=OC=，則AB=2OA=2，于是得到雙曲線y=的對徑；

（2）根據(jù)雙曲線的對徑的定義得到當(dāng)雙曲線的對徑為10即AB=10，OA=5，根據(jù)OA=OC=AC，則OC=AC=5，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），把A（5，5）代入雙曲線y=（k＞0）即可得到k的值．

過A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖：

（1）解方程組，得，，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），

∴OC=AC=1，

∴OA=OC=，

∴AB=2OA=2，

∴雙曲線的對徑是2；

（2）∵雙曲線的對徑為10即AB=10，OA=5，

∴OA=OC=AC，

∴OC=AC=5，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，5），

把A（5，5）代入雙曲線（k＞0）得k=5×5=25，

即k的值為25．