Question

【題目】某電子廠商投產一種新型電子產品，每件制造成本為18元，試銷過程中發現，每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關系可以近似地看作一次函數y=﹣2x+100．（利潤=售價﹣制造成本）
（1）寫出每月的利潤z（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得350萬元的利潤？當銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據相關部門規定，這種電子產品的銷售單價不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產品每月的最低制造成本需要多少萬元？

Answer 1

【答案】
（1）解：z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z與x之間的函數解析式為z=﹣2x2+136x﹣1800；

（2）解：由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，

解這個方程得x1=25，x2=43，

所以，銷售單價定為25元或43元，

將z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，

因此，當銷售單價為34元時，每月能獲得最大利潤，最大利潤是512萬元；

（3）解：結合（2）及函數z=﹣2x2+136x﹣1800的圖象（如圖所示）可知，

當25≤x≤43時z≥350，

又由限價32元，得25≤x≤32，

根據一次函數的性質，得y=﹣2x+100中y隨x的增大而減小，

∴當x=32時，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（萬元），

因此，所求每月最低制造成本為648萬元．

【解析】（1）根據每月的利潤z=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z與x之間的函數解析式，（2）把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800，解這個方程即可，把函數關系式變形為頂點式運用二次函數的性質求出最值；（3）根據銷售單價不能高于32元，廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤得出銷售單價的取值范圍，進而解決問題．