Question

四邊形ABCD的對角線AC、BD的長分別為m、n，可以證明當AC⊥BD時（如左圖），四邊形ABCD的面積S=

1

2

mn，那么當AC、BD所夾的銳角為θ時（如圖），四邊形ABCD的面積S=

 

．（用含m、n、θ的式子表示）

Answer 1

分析：設AC、BD交于O點，在①圖形中，設BD=m，OA+OC=n，所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC，由此可以求出四邊形的面積；
在②圖形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夾角為θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF=

1

2

BD•（AE+CF ），由此也可以求出面積．

解答：解：如圖，設AC、BD交于O點，在①圖形中，設BD=m，OA+OC=n，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

m•OC+

1

2

m•OA=

1

2

mn；
在②圖形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
由于AC、BD夾角為θ，
所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC
=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF
=

1

2

BD•（AE+CF）=

1

2

mnsinθ．
故填空答案：

1

2

mnsinθ．

點評：此題比較難，解題時關鍵要找對思路，即原四邊形的高已經發生了變化，只要把高求出來，一切將迎刃而解．