Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2﹣（m+3）x+9的頂點C在x軸正半軸上，一次函數y=x+3與拋物線交于A、B兩點，與x、y軸分別交于D、E兩點．

（1）求m的值；

（2）求A、B兩點的坐標；

（3）當﹣3＜x＜1時，在拋物線上是否存在一點P，使得△PAB的面積是△ABC面積的2倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=3；（2）點A的坐標為（1，4），點B的坐標為（6，9）； （3）存在，P（， ）．

【解析】試題分析：（1）由頂點在x軸上知它與x軸只有一個交點，即對應一元二次方程中△=0，可得關于m的方程，求解即可得m；

（2）聯立拋物線與直線解析式可得方程組，求解即可得A、B坐標；

（3）設點P（a，b），作PT⊥x軸交BD于點E，AR⊥x軸，BS⊥x軸，分別表示出AR、BS、RC、CS、RS、PT、RT、ST的長，根據S△ABC=S梯形ARSB﹣S△ARC﹣S△BCS求出S△ABC，由S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP表示出S△PAB，根據△PAB的面積是△ABC面積的2倍可得a、b間關系，代入拋物線解析式即可求得．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點在x軸上，

∴它與x軸只有一個交點，

∴（m+3）2﹣4×9=0，

解得m=3或m=﹣9，

又∵拋物線對稱軸大于0

∴﹣＞0，即m＞﹣3，

∴m=3；

（2）由（1）可得拋物的解析式為y=x2﹣6x+9，

解方程組 ，解得或，

∴點A的坐標為（1，4），點B的坐標為（6，9）；

（3）存在，

設點P（a，b），如圖，作PT⊥x軸交BD于點E，AR⊥x軸，BS⊥x軸，

∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b）

∴AR=4，BS=9，RC=3﹣1=2，CS=6﹣3=3，RS=6﹣1=5，PT=b，RT=1﹣a，ST=6﹣a，

∴S△ABC=S梯形ARSB﹣S△ARC﹣S△BCS=×（4+9）×5﹣×2×4﹣×3×9=15，

S△PAB=S梯形PBST﹣S梯形ABSR﹣S梯形ARTP

=×（9+b）（6﹣a）﹣×（4+9）×5﹣×（b+4）（1﹣a）

=（5b﹣5a﹣15），

又∵S△PAB=2S△ABC，∴（5b﹣5a﹣15）=30，∴b﹣a=15，b=15+a，

∵點P在拋物線上∴b=a2﹣6a+9，∴15+a=a2﹣6a+9，

∴a2﹣7a﹣6=0，解得：a=，

∵﹣3＜a＜1，∴a=，∴b=15+a=，

∴P（， ）．