Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）連接AD并延長交BE于點F，若OB=9，sin∠ABC= ，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵OD⊥BC，

∴∠COE=∠BOE，

在△OCE和△OBE中，

∵ ，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，

∵OB是⊙O半徑，

∴BE與⊙O相切．

（2）解：過點D作DH⊥AB，連接AD并延長交BE于點F，

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，

∴△ODH∽△OBD，

∴

又∵sin∠ABC= ，OB=9，

∴OD=6，

易得∠ABC=∠ODH，

∴sin∠ODH= ，即 = ，

∴OH=4，

∴DH= =2 ，

又∵△ADH∽△AFB，

∴ = ， = ，

∴FB=

【解析】（1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結論．（2）過點D作DH⊥AB，根據sin∠ABC= ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質得出比例式即可解出BF的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．