Question

【題目】問題再現：

數形結合是解決數學問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數學知識變得直觀， 從而可以幫助我們快速解題，初中數學里的一些代數公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進行直 觀推導和解釋．

如圖 1，是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式：

如圖 2，在中，，以的三邊長向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關系，直接寫出結論 ．

如圖 3，如果以的三邊長為直徑向外作半圓，那么第問的結論 是否成立？請說明理由．

如圖 4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直 徑向上作半圓，求圖 4 中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）結論仍成立，理由見詳解；（4）30

【解析】

（1）根據大正方形的面積等于兩個小正方形的面積加兩個長方形的面積即可得出答案；

（2）分別求出三個正方形的面積，再用勾股定理求解即可；

（3）分別求出三個半圓的面積，計算即可；

（4）陰影部分的面積為兩個小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積．

解：（1）由正方形的面積可得出：；

故答案為： ；

（2）由圖可得：,

在直角三角形中有：

∴；

故答案為：；

（3）結論仍成立，理由如下：

由圖可得出：

∴

在直角三角形中有：

∴．

因此，結論仍成立．

（4）由圖可知：

陰影部分的面積為兩個小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積，由（3）可知為兩個小半圓的面積等于大的半圓的面積，因此，陰影部分的面積等于三角形的面積，

∵．