Question

（2013•瀘州）如圖，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點(diǎn)P．則下列結(jié)論：
（1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；
（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；
（3）CD+CE=

2

OA；（4）AD²+BE²=2OP•OC．
其中正確的結(jié)論有（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：結(jié)論（1）錯(cuò)誤．因?yàn)閳D中全等的三角形有3對(duì)；
結(jié)論（2）正確．由全等三角形的性質(zhì)可以判斷；
結(jié)論（3）正確．利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷．
結(jié)論（4）正確．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理進(jìn)行判斷．

解答：解：
結(jié)論（1）錯(cuò)誤．理由如下：
圖中全等的三角形有3對(duì)，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．
由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．
∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．
在△AOD與△COE中，

∠OAD=∠OCE=45° OA=OC ∠AOD=∠COE

∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可證：△COD≌△BOE．
結(jié)論（2）正確．理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴S_△AOD=S_△COE，
∴S_{四邊形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=

1

2

S_△ABC，
即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．
結(jié)論（3）正確，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，
∴CD+CE=CD+AD=AC=

2

OA．
結(jié)論（4）正確，理由如下：
∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，∴AD²+BE²=DE²．
∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，
又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形，∴DE²=2OE²，∠DEO=45°．
∵∠DEO=∠OCE=45°，∠COE=∠COE，
∴△OEP∽△OCE，
∴

OE

OC

=

OP

OE

，即OP•OC=OE²．
∴DE²=2OE²=2OP•OC，
∴AD²+BE²=2OP•OC．
綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要幾何知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于結(jié)論（4）的判斷，其中對(duì)于“OP•OC”線段乘積的形式，可以尋求相似三角形解決問(wèn)題．