Question

閱讀材料： 小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：3＋2＝(1＋)²，善于思考的小明進行了以下探索：

設a＋b＝(m＋n)²(其中a、b、m、n均為整數)，則有a＋b＝m²＋2n²＋2mn.

∴a＝m²＋2n²，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把部分a＋b的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)當a、b、m、n均為正整數時，若a＋b＝(m＋n)²，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝________，b＝________；

(2)利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n，填空：________＋________＝(______＋______)²；

(3)若a＋4＝(m＋n)²，且a、m、n均為正整數，求a的值．

Answer 1

解析　(1)將 (m＋n)²展開得m²＋2n²＋2mn，因為a＋b ＝(m＋n )²，所以a＋b ＝m²＋3n²＋2mn，根據恒等可判定a＝m²＋3n²  ，b＝2mn；(2)根據(1)中a、b和m、n的關系式，取的值滿足a＝m²＋3n²，b＝2mn即可．(3)將(m＋n)²展開，由(1)可知a、m、n滿足再利用a、m、n均為正整數，2mn＝4，判斷出m、n的值，分類討論，得出a值．

答案　(1)a＝ m²＋3n²　b＝2mn

(2)4，2，1，1(答案不唯一)

(3)解　根據題意得，

∵2mn＝4，且m、n為正整數，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，

∴a＝13或7.