Question

【題目】如圖1，點P從菱形ABCD的頂點B出發，沿B→D→A勻速運動到點A，BD的長是；圖2是點P運動時，△PBC的面積y(cm2)隨時間x(s)變化的函數圖像．

(1)點P的運動速度是 cm/s；

(2)求a的值；

(3)如圖3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG－EF＝1，若點P、M、N分別從點E、F、G三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，當點M到達點G(即點M與點G重合)時，三個點隨之停止運動；若點P不改變運動速度，且點P、M、N的運動速度的比為2:6:3，在運動過程中，△PFM關于直線PM的對稱圖形是△PF'M，設點P、M、N的運動時間為t(單位：s)．

①當t＝ s時，四邊形PFMF'為正方形；

②是否存在t，使△PFM與△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）a=；（3）①1.25；②存在，

【解析】

（1）根據圖2得到點P從點B運動到點D的時間，根據速度的計算公式計算即可；

（2）結合圖形，根據三角形的面積公式求出a；

（3）①根據題意求出點M的運動速度，根據翻轉變換的性質，正方形的判定定理得到PF=FM時，四邊形PFMF，為正方形，根據正方形的性質列出方程，解方程即可；

②分△PFM∽△MGN、△PFM∽△NGM兩種情況，根據相似三角形的性質列出比例式，代入計算即可．

解：（1）由圖2知，點P從B運動到D

∵BD=

∴點P的運動速度為÷=1（cm/s）

故答案為1．

（2）如圖1，作DQ⊥BC于點Q

當點P在BD上時，a=×BC×DQ

∵四邊形ABCD是菱形，點P的運動速度為1

∴AD=BC=1×a=a

∴a=×a×DQ

解得DQ=2

在Rt△BDQ中，BQ==1

∴CQ=a-1

在Rt△CDQ中，CD2=CQ2+DQ2，即a2=(a-1)2+22

解得a=

（3）①∵點P的運動速度1cm/s，點P、M的運動速度的比為2∶6

∴點M的運動速度3cm/s

由題意得EF=2a=5

∵FG-EF=1

∴FG=6

∴PF=5-t，FM=3t

由翻轉變換的性質可知，PF=PF，，FM=FM，

當PF= FM時，PF==PF，= FM=FM，

∴四邊形PFMF，為菱形

∵∠F=90°

∴四邊形PFMF，為正方形

∴5-t=3t

即t=1.25時，四邊形PFMF，為正方形

②存在

∵點P的運動速度1cm/s，點P、M、N的運動速度的比為2∶6∶3

∴點M的運動速度為3cm/s，點N的運動速度為1.5cm/s

∴PF=5-t，FM=3t，GN=1.5t

∵點M的運動速度為3cn/s，FG=6

∴0≤t≤2

當△PFM∽△MGN時，

即

解得t=

當△PFM∽△NGM時，

即

解得（舍去）

綜上所述，當時，△PFM與△MGN相似．

故答案為（1）1；（2）a=；（3）①1.25；②存在，