Question

【題目】動手操作題：如何能把一個三角形分成兩個等腰三角形嗎？
實際上，一個三角形只要具備下列三個條件之一，都可以被分成兩個等腰三角形：
①一個角為90°；②一個角是另一個的2倍（第三角必須大于45°）；
③一個角是另一個角的3倍.今天，我們通過作圖來驗證這個結論。
（1）問題1：
如圖，Rt△ABC中，求畫一條直線l將△ABC分成兩個等腰三角形.并說明直線l與△ABC
邊上的交點D的位置.

（2）問題2：
如圖，△ABC中，∠ACB=80°, ∠BAC=40°,求畫一條直線l把△ABC分成兩個等腰三角形， 并在圖中標注兩個頂角的度數.

（3）問題3：
如圖，△ABC中，∠ACB=120°, ∠BAC=40°,求畫一條直線l把△ABC分成兩個等腰三角形， 并在圖中標注兩個頂角的度數.

（4）問題:4：
如果等腰三角形能被一條直線分成兩個等腰三角形，則原等腰三角形的頂角可以是°.（至少寫出三個）
（5）拓展：已知△ABC的三條邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（ ）
A.6條
B.7條
C.8條
D.9條

Answer 1

【答案】
（1）

解：點D是AC的中點

（2）

解：

（3）

解：

（4）36°，90°，108°，
（5）B
【解析】解：（4）分以下幾種情況討論：
①如圖1，當過頂角頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，

圖1
設A=x,
則ACD=A=x,B=A=x,
∴BCD=B=x,
∵A+ACB+B=180 ，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90.
②如圖2，若AC=BC=BD，AD=CD，

圖2
設 ∠B=x ° ,
∵AC=BC，∴∠ A=∠B=x ° ,
∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=x ° ,
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2x ° ,
∵BC=BD， ∴∠BCD=∠BDC= 2x ° ,
∴∠ ACB=3x ° ,
∴x+x+3x=180，
解得x=36，
則頂角是108.
③如圖3，當過底角頂點的角平分線把它分成了兩個等腰三角形，則有AC=BC，AB=AD=CD，

圖3
設 ∠C=x ° ,
∵AD=CD，∴∠CAD=∠C=x ° ,
∴∠ADB=∠CAD+∠C=2x ° ,
∵AD=AB，∴∠B=∠ADB=2x ° ,
∵AC =BC，∴∠CAB=∠B=2x ° ,
∵∠CAB+∠B+∠C=180 °，即2x+2x+x=180，
解得x=36，
則頂角是36.
④如圖4，當∠ A=x ° ,∠ ABC=∠ ACB=3x °時 ,也符合. AD=BD，BC=DC，

圖4
∠ A=∠ ABD=x，∠ DBC=∠ BDC=2x，
則x+3x+3x=180，
解得x= ，
則頂角是.
綜上，原等腰三角形的頂角的度數為36°，90°，108°， ，
所以答案是：36°，90°，108°， .
（5）如圖所示：

當BC1=AC1 ， AC=CC2，AB=BC3 ， AC4=CC4 ， AB=AC5 ， AB=AC6 ， BC7=CC7時， 都能得到符合題意的等腰三角形.
故選B.
【考點精析】利用三角形的內角和外角和直角三角形斜邊上的中線對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．