Question

【題目】已知如圖，等邊的邊長為，點分別從、兩點同時出發，點沿向終點運動，速度為；點沿，向終點運動，速度為，設它們運動的時間為．

（1）當為何值時，？當為何值時，？

（2）如圖②，當點在上運動時，與的高交于點，與是否總是相等？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時，PQ∥AB，當時，；（2）OP=OQ，理由見解析

【解析】

（1）當PQ∥AB時，△PQC為等邊三角形，根據PC=CQ列出方程即可解出x的值，當PQ⊥AC時，可得，列出方程解答即可；

（2）作QH⊥AD于點H，計算得出QH=DP，從而證明△OQH≌△OPD（AAS）即可．

解：（1）∵當PQ∥AB時，

∴∠QPC=∠B=60°，

又∵∠C=60°

∴△PQC為等邊三角形

∴PC=CQ，

∵PC=4-x，CQ=2x，

由4-x=2x

解得：，

∴當時，PQ∥AB；

若PQ⊥AC，

∵∠C=60°，

∴∠QPC=30°，

∴，

即，

解得：

∴當時，

（2）OP=OQ，理由如下：

作QH⊥AD于點H，

∵AD⊥BC，

∠QAH=30°，

∴，

∵DP=BP-BD=x-2，

∴DP=QH，

∴在△OQH與△OPD中

∴△OQH≌△OPD（AAS）

∴OQ=OP