Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點，連接BE．

（1）求證：四邊形BCDE為菱形；

（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC＝2，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析.（2）2

【解析】

（1）先證明四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE＝DE，根據一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可判定四邊形BCDE是菱形；（2）連接AC，根據平行線的性質及角平分線的定義證得∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，即可得AB＝BC＝2，根據銳角三角函數的定義求得∠ADB＝30°，所以∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，即可求得AC＝2．

（1）證明：∵AD＝2BC，E為AD的中點，

∴DE＝BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∵∠ABD＝90°，AE＝DE，

∴BE＝DE，

∴四邊形BCDE是菱形．

（2）連接AC．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，

∴AB＝BC＝2，

∵AD＝2BC＝4，

∴sin∠ADB＝，

∴∠ADB＝30°，

∵四邊形BCDE是菱形．

∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，

在Rt△ACD中，∵AD＝4，

∴AC＝2．