Question

【題目】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖 1，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 邊上的中線 AD 的取值范圍． 小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長 AD 到 E，使得 DE＝AD，再連接 BE（或將△ACD 繞點 D 逆時針旋轉 180°得到△EBD），把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中， 利用三角形的三邊關系可得 2＜AE＜8，則 1＜AD＜4．

（感悟）解題時，條件中若出現中點、中線字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中 心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．

（解決問題）受到（1）的啟發，請你證明下列命題：如圖 2，在△ABC 中，D 是 BC 邊上的中點， DE⊥DF，DE 交 AB 于點 E，DF 交 AC 于點 F，連接 EF．

（1）求證：BE＋CF＞EF，

（2）若∠A＝90°，探索線段 BE、CF、EF 之間的等量關系，并加以證明．、

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），見解析

【解析】

（1）延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），利用三角形的三邊關系即可解決問題；

（2）若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根據BE2+BG2=EG2，即可解決問題；

解：（1）延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD），

∴CF=BG，DF=DG，

∵DE⊥DF，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，

即BE+CF＞EF．

（2）若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，

由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，

∴BE2+CF2=EF2；