Question

【題目】如圖，為等邊三角形，、分別為、上的點，且．

（1）求證：；

（2）以為邊作等邊三角形，點在線段上的何處時，四邊形是平行四邊形且．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）D在線段BC上的中點，四邊形CDEF是平行四邊形,理由見解析．

【解析】

（1）在△ACD和△CBF中，根據已知條件有兩邊和一夾角對應相等，可根據邊角邊來證明全等．

（2）當，即為∠DCF＝30，在△BCF中，∠CFB＝90，即F為AB的中點，又因為△ACD≌△CBF，所以點D為BC的中點．

（1）由△ABC為等邊三角形，AC＝BC，∠FBC＝∠DCA，

在△ACD和△CBF中，

，

所以△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）當D在線段BC上的中點時，四邊形CDEF為平行四邊形，且角DEF＝30度

按上述條件作圖，

連接BE，

在△AEB和△ADC中，

AB＝AC，∠EAB＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD＝60，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，

∴△AEB≌△ADC（SAS），

又∵△ACD≌△CBF，

∴△AEB≌△ADC≌△CFB，

∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60，

∴△EFB為正三角形，

∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60，

又∵∠ABC＝60，

∴∠EFB＝∠ABC＝60，

∴EF∥BC，

而CD在BC上，

∴EF平行且相等于CD，

∴四邊形CDEF為平行四邊形，

∵D在線段BC上的中點，

∴F在線段AB上的中點，

∴∠FCD＝×60＝30

則∠DEF＝∠FCD＝30

∴當D在線段BC上的中點時，四邊形CDEF為平行四邊形，且．